直感力を高める 数学脳のつくりかた

 脳は非常に注意深い状態とリラックスした安静状態の2種類のネットワークを適宜切り替えていることが分かってきた。「集中モード」と「拡散モード」

集中モード思考は数学や科学の学習に欠かせない。合理的・逐次的・分析的方法を使って問題を解くときには、この思考が直接関わってくる。集中モードは、額の真後ろに位置する脳の前頭前野皮質の集中力と関係がある。・・・数学や科学の学習では、拡散モード思考も絶対に必要になる。気を緩め、心をさまよわせるときの拡散モード思考のおかげで手こずっていた問題の解き方をふと思いつくし、拡散モード思考は「大局的」検知とも関係がある。要は、リラックスすれば、様々な脳領域がつながるため、洞察力が増すのである。

数学的概念は通常の言語の概念よりも抽象的に暗号化されていることが多いので、取っつきにくいかもしれない。しかし、この抽象性や暗号化こそが数学や科学の複雑さの度合いを押し上げているにすぎないのである。

抽象性や暗号化の他にも数学や科学では「構え効果」という現象が厄介だ。構え効果では以前に頭に浮かんだ考えや最初に考えたことがネックとなり、、もっと適切な考えや解き方があるのに気づかない。・・・構え効果には特に注意し、新しいことを学ぶときには以前の考えは忘れて頭を切り替えなければならない。

アンカリング - Wikipedia

何の準備もしないで宿題に取り掛かるのは、金槌が泳ぎ方を習わないうちに海に飛び込むようなものであり、数学や科学の学習時に犯しやすい重大ミスの一つである。

未知の概念や解いたことのない問題にぶつかった場合は、道案内してくれる神経経路も思考を誘導する神経パターンも存在していない。仕方なく解決策を探してウロウロすることになる。拡散モードはそういう状況におあつらえ向きだ!集中モードと拡散モードの違いは、懐中電灯を考えると分かりやすい。懐中電灯の光を狭い場所に集中させて遠くまで照らし出すこともできれば、弱いヒカリながら広範囲に投げかけることも出来る。前者が集中モードの、後者が拡散モードの状態だ。概念でも問題でも未経験の事柄を理解したいときは、正確さが第一の集中モードをオフにして「大局的な」拡散モードをオンにし、好結果を生む新しい取り組み方を手に入れよう。

集中モードから拡散モードへの移行・・・コツは、脳が取り立てて考えないようになるまで別の作業をすることだ。・・・アメリカの心理学者ハワード・グルーバー(1922-2005)の考えでは、想像力の秘訣は次の3つの「B」のどれか一つを行うことに有る。すなわちベッド(睡眠)、バス(入浴)、バス(ぼんやり考えることが出来るバスでの移動)である。もちろん、散歩も役立つ。・・・散歩などをして当面の問題から注意がそれれば、やがて拡散モードの状態に入って視野が広がり、解決策に至る道を進むことが出来る。

集中モードでの懸命な取り組みが合って初めて味わえるものの、拡散モード時に思いがけず解き方がピンときた時の感覚は突然のひらめきにそっくりだろう。まるで耳元で囁かれたかのように難問の解き方が直感的にひらめく。その際の何とも言えない会館は数学や科学、さらには芸術や文学などの創造的な分野ならではの醍醐味だ。しかも、数学や科学では学び始めた当初から極めて創造的な思考形態を取るのである。

厄介な問題にぶつかるとエジソンは深追いするどころか、一種独特な方法でうたた寝したといわれる。安楽椅子に腰掛けて床に皿を置き、ボールを手に持ったまま目を閉じる。緊張がほぐれるに連れ、考えは何者にもとらわれない、自由な拡散モード思考に移っていく。・・・脳がそれらについて漫然と考えるよう仕向けるには、このように眠りに落ちることが良策になる。・・・サルバドール・ダリエジソンと同じようにうたた寝と手に持ったものが床に落ちる時の音を利用して拡散モード時のユニークな視点を手に入れ、創作活動に生かした。ダリはこのまどろみを「寝ることのない眠り」と呼んでいた。

拡散モードに手伝ってもらえば、深く、独創的に学ぶことが出来る。何より、数学や科学の問題解決では、創造力が大いに必要になる。一つの問題の解き方は一つしかないと思う人が多い。しかし、想像力があれば、複数の解法が見つかるだろう。・・・自分の能力を伸ばして利用すべきものが、創造力である。それなのに自分には創造力がないと思う人が大勢いる。事実はその逆で、人はだれでもニューロンニューロンをつなげてシナプスを形成し、そもそも存在していなかった考えを記憶から引き出すことが出来る。これこそがカナダのブリティッシュ・コロンビア大学ん心理学教授リアン・ガボラのいう「創造力のなせる魔法」である。脳機能を理解すれば、思考には創造的な面があると納得できるだろう。

アルベルト・アインシュタイン「人生には二通りの生き方しか無い。奇跡など何一つ存在しないかのように生きるか、すべてが奇跡であるかのように生きるかである」

数学や科学では失敗から多くを学び取れることである。問題解決の際、ミスを重ねるごとに力がつく。そうと知ったら、間違いを見つけても満足できるのではないだろうか。エジソン「失敗したのではない。うまくいきそうもない方法を一万通り見つけただけだ。」人はどうしても間違えるものだ。それを防ぐために課題には早めに取り掛かり、心から楽しんでいる場合をのぞいて勉強時間を短めにして休憩を挟もう。本人が一休みしても、拡散モードは陰ながらせっせと働き続ける。・・・拡散モードさえ利用すればぶらぶら出来、万事順調に運ぶわけではない。集中モードでは問題に意識を向け、拡散モードでは一転してリラックスすることを交互に繰り返す「分散学習」を数日間や数週間続けてこそ効果が上がる。

何よりもまず問題を理解するには、集中モードの力を借りなければならない。そのためには十分な「注意」が不可欠であり、問題に最大限意識を集めて考える。この種の思考に必要な精神的エネルギーである自制心はたっぷりあるわけではない。・・・集中モード時に初めての概念を素早く飲み込んで学習スピードを上げたい人もいるだろう。しかし、運動にたとえると、ウェイトリフティングで立て続けにバーベルを持ち上げても筋肉は太くならない。筋肉を発達させるには、一旦休ませる必要がある。一連のトレーニングの合間に休憩を取るのが、長い目で見ればたくましい筋肉をつける近道である。

数学や科学に手こずり始めた学生が飲み込みの早い人を見れば「負けるな」と自分に言い聞かせ、集中モードで勉強し続けるだろう。しかし、教材内容を完全に習得するには拡散モードの時間を余分に取る必要があるため、そういう人はますます遅れを取ってしまう。一生懸命に勉強したのに不本意な結果に終わる。学生は落胆して数学や科学の勉強から手を引き、これまでの努力を無駄にするかもしれない。・・・数学や科学の学習時間を増やす必要があるなら、時間を捻出することだ。

拡散モードが働き出すには、集中モードの状態を切り上げなければならない。ところが、自制心が非常に強い人はこれが何より難しい。そういう人は他の人なら弱音を吐くところを、自制心を働かせて音を上げなかった。・・・そうとう消耗していると感づいてくれそうな学習仲間や友人、家族に確かめてみるのである。

学習とは教材や講義などから吸収した情報を理解することでもあり、理解するためには重要な点をつかんでおく必要がある。・・・学習には矛盾したところがある。・・・問題を解くには集中しなければならないが、集中すると斬新な解き方を思いつきにくい。成功と同じく失敗も重要である。学習では粘り強さは長所となる一方、見当違いの粘り強さはイライラを募らせる。

作動記憶と長期記憶

作動記憶は短期記憶の一種で、人が意図を持って何かを行う際の情報を一時的に保持しながら別の情報を処理することが出来る。・・・現在の定説ではせいぜい4個ほどの情報のまとまり(チャンク)を保ち続ける。・・・作動記憶は頭のなかに有る自分専用の黒板のようなものだ。・・・長期記憶は貯蔵庫と考えることができる。・・・長期記憶に入った一つの情報を数回思い出して復讐するということをしないと必要な時に当の情報を発見しにくくなる(コンピュータにたとえると、短期記憶は随時書き込み読み出しメモリRAMに、長期記憶は大容量のHDDに当たる)。・・・情報を作動記憶から長期記憶に移すには時間がかかるため、「間隔反復」という方法を利用して情報を長期記憶にスムーズに移行させよう。・・・反復の間隔を徐々に空けていくことで練習期間を伸ばす。

数学や科学の専門知識を身につけるには意味や類似性などを基にバラバラの情報を結びつけて概念のチャンクを作ることが第一歩となる。

21分のうたた寝で認知的にリセットされるんです。エイミー・アルコン

目が覚めている状態にあるだけで脳内に有害な老廃物が蓄積・・・就寝中に脳は大掃除を始める。寝ている間に脳細胞は縮むため、脳脊髄液がスムーズに循環し、日中にたまった毒素(代謝産物)を押し流して排出するのである。・・・就寝中の脳の大掃除の間、些細な記憶は消去され、大切な記憶は強化される。また、日中に難問に取り組んでいれば、睡眠中に脳はその時の神経パターンを再現して問題を繰り返して練習し、当の神経パターンがしっかり根付くようにする。・・・睡眠は究極の拡散モードの状態

カリフォルニア大学ロサンゼルス校精神医学教授ロバート・M・ビルダーは同大学付属テネンバウム創造性生物学センター長を兼任している他、「マインド・ウェル」と胃うプログラムを監督している。

Well | UCLA Live Well

 想像力は当たり番号を選ぶ「数あて賭博」のようなもので、数が判断材料になります。実際、生涯にどれほど独創的な作品を生み出すかは作品の数から予想がつきます。裏返していえば、創作力が旺盛な人とか数をこなして練習する人などは新しいものを作り出せるでしょうね。・・・何も好き好んで辛い思いをしなくてもいいと考える時もありますが、後で触れるように作品を展示すると得るものは多いのです。
FBの本社での講演後に受け取った、ヤル気を起こすポスター・・・「怖くなければ何をやってみたいか」・・・恐ろしいからと立ちすくんでいては駄目なんです!
やり直しはつきものだと考えて下さい。
批評されれば人は上達するものです。人前にさらけ出して作品を客観化すれば、自作を念入りに調べられる他、批評してくれる人のユニークな視点や考えを知ることで次の創作プランを練ることも出来ます。
創造力と人当たりのよさの程度は負の相関関係にあり、非常に気難しい人とか迎合しない人などはたいてい創意に富んでいます。我ながら斬新だと思った作品は芸術とはこういうものだという既存の回答に疑問を抱いて創作したものです。このように創造的なやり方というのは、問題の根っこをむき出しにして自分や他の人が前提としていることを疑問視する。その上でやり直すことだと思いますよ!
 教材を単に読み直すことよりはるかに効果的なのは、その内容や概念など理解したい事柄を思い出すことである。アメリカの心理学者ジェフリー・D・カーピックらの研究では、学習中、大学生の多くは自分には能力があると錯覚している。そういった学生は「さほどためにならないのに教科書やノートを繰り返し読んでいる。自己試験や検索練習を取り入れている学生は少数である」。教材を開いて読み始めると、書かれていることが頭に入ってくるように思えるのは錯覚だ。それでも、教材に目を通すことは内容を思い出すことよりずっと簡単なので、学生は有益とはいいがたい学習法にこだわり続ける。

学びたい意欲があり、実際に勉強時間を多く取っていても、必ずしも望みどおりの結果にならないのは、このようにやり方がまずいせいでもある。イギリスの高名な心理学者で記憶の権威アラン・バドリーのいうとおり、「勉強しようという意思は、適切な学習法の利用があってこそ役立つ」のである。

 また、下線を引いたり、蛍光ペンでマークしたりするときは慎重にやらないと指の動きにだまされるのか、マークした概念をのみ込めたように勘違いしてしまう。教科書に印をつけるときは重要な概念に的を絞り、マーキングは一つの段落につき一文以下に抑えよう。マーキングより望ましいのは、重要な概念の要点を教科書の余白に書きつけることだ。さらに、数学や科学の宿題の問題は必ず自力で解くようにしたい。・・・教材をただ読み直すという受け身の方法ではなく、その内容や重要な概念を思い出すようにすると集中的・効果的に学習することができる(こう言った記憶の効果を「生成効果」という)。教材の読み直しが役立つとすれば、間隔反復のように時間を置いて行う場合に限られるだろう。

学生と専門家の決定的な違い

一般的な学生は大学の講義で概念を学びます。これに対して脂の乗った科学者や技術者は、概念を真に物理的な問題に応用できるのです。普通の学生が専門家に飛躍できる方法として考えられるのは、たった一つです。道具のように使いこなせるよう概念にしっかり取り組んで知識を我が物にすることですよ」。ミネソタ州のマクナリー・スミス音楽大学音響工学教授トマス・デイ

教材内容をしっかり身につけて試験で高得点を取ったり、独創的に考えたりしたいなら、情報が記憶に残るようチャンクにする必要がある。・・・独創的な科学者と技術的には有能でも創意に富んでいない科学者の決定的な違いは、幅広く関心を持っているかどうかにある。

スペインの組織学者・病理解剖学者サンティアゴ・ラモン・イ・カハル(1852-1934)は、フランスの微生物学者・化学者エミール・デュクロ(1840-1904)の言葉を引用して「運はこれを望むものではなく、受けるに足るものに開く」と述べ、さらにこう付け加えている。「宝くじと同じように科学の世界でも幸運は大金を賭けたものに微笑む。」これはすなわち、庭をせっせと耕しているものが報われるということだ」(Ramon y Cajal 1999)。フランスの化学者・細菌学者ルイ・パスツール(1822-1895)曰く「観察が主体の研究分野では、チャンスは準備のできたものにのみ訪れる」。また、ラテン系民族の格言は「幸運は勇者に味方する」であるし、イギリス陸軍特殊部隊のモットーは「勇気ある者が勝つ」である。

数学の魅力 

数学というのは、チャンキングと同じようにびっくりするほど圧縮できるんですよ。長い間、同じような経過や取り組み方が繰り返されるかもしれませんが、それを乗り越え、数学を本当に理解して広い視野から数学の全貌を捉えれば、コンパクトにまとまるものです。そうすると、数学を頭のなかに整理保存しておくことも出来ますし、必要なときにすぐに取り出して利用することも出来ます。圧縮できたことで洞察力が鋭くなるのも数学の魅力です。フィールズ賞受賞者ウィリアム・サーストン(1946-2012)

下手な教師の手にかかれば、反復練習は拷問の道具になる。こう言った御用や悪用の例はまれにあるにせよ、反復練習は必須である。・・・専門知識を身に着けたいなら、全体像を把握するトップダウン式の取り組み方だけでなく、チャンキングのボトムアップ式の取り組み方も必要になる。全体像を捉えて勉強するという考えに惹かれるかもしれない。しかし、チャンクは専門知識の土台となる。反復練習によりチャンクを作りやすくなるので、思い出すことを含めた反復練習も適度に行わなければ、数学や科学を完全に習得できないだろう。・・・同じ時間量では他のどの方法よりも教材内容を思い出す練習のほうがはるかに深く、たくさん学べるのである。・・・情報を思い出すようにすれば、人間は単純なロボットではないので、思い出す過程(検索過程)そのものが学習を深め、これもチャンキングを容易にすることだ。

喉まで出かかるほど学習しよう

意外にも私が試した学習法のほとんどは、この本に載っています。その一つが反復練習です。・・・問題解決が習慣になったおかげで脳に解法が組み込まれたようです。・・・学生には毎日勉強するようアドバイスしています。何も長時間やる必要はなく、学んだことが喉まで出かかるくらいになれば十分です。マサチューセッツ大学ローウェル校学務・国際関係担当副学長ロバート・R・ガメーシュ

 難問の解き方が直感でピンとくるようになるには、チャンクを増やすことの他に「インターリーブ」という学習法も役立つ。インターリーブとは一口に言えば、別種の勉強を挟み込んで学習を多様にすることを指す。・・・生徒が問題の解き方を充分に理解し、答えをすぐに出せるようになっても学習・練習し続けて記憶力や技能を強化しようとすることを「過剰学習」という。過剰学習により反射的に行えるようになるので、テニスのサーブの練習やピアノのレッスンであれば役立つ。しかし、数学や科学の授業時間をまるまる反復学習に使うのは時間の無駄遣いである。・・・肝心の長期記憶のニューロンニューロンの接合部(シナプス)が鍛えられるとは限らない。・・・インターリーブにより種々の問題で解き方を練習すれば、ある解法はどういうときに利用できるのかが飲み込めるようになる。

土壇場になって詰め込み勉強をしても、数学や科学では何も得るものはない。

数学や科学の習得は次の二点にかかっている。短時間の集中的学習を繰り返して神経構造の「レンガ」を積み上げていくことと、短時間学習の合間にリラックスしてレンガ積みのつなぎに使ったモルタルが乾く時間を確保することである。このように、先延ばしに出来る時間的余裕はないため、大学生の間で恐ろしく一般的な先延ばしの問題はなんとかしなければならない。

アメリカの先延ばしの専門家・コンサルタントのリタ・エメットによれば、「作業そのものよりも、課題に取り組むのを嫌がることのほうが時間とエネルギーを多く消費する」という。

先延ばしは依存症に似ている。やるべきことを先に伸ばすと、つかの間ワクワクして退屈な現実世界から解放される。その間は楽しくてたまらないので、時間のもっとも有益な使い方は教科書を読んだり、宿題の問題を解いたりするのではなくネットサーフィンをすることだなどと思い込み・・・

苦い経験から学んだのは、科目を選んだら仲間や教師の良き助言を求めるということです。彼らの豊富な知識は非常に役立ちますよ。アメリカ高額教育境界専務理事ノーマン・フォーテンベリー

習慣はエネルギーを節約してくれる。おかげで本人は別種の活動に注意を向けることができる。

世の中には失敗を経て成功を掴んだ人が大勢います。そういう人たちも僕と同じような経験をしたと思いますよ。失敗したことがなければ、成功したいという気持ちをかきたてるのに失敗がいかに重要になるか、わからないかもしれません。オラルド・バディ・ソーシド

  •  失敗しやすい人もいれば失敗しにくい人もいるように、失敗率は人それぞれだ。割合が違っても誰だってしくじる。だからこそ、宿題ときちんと済ませて失敗率を使い果たす。
  • 練習によって完璧になるというのは真っ赤な嘘。実際には練習することで上達してくる。
  • 学酒は息の長い勝負であり、人生最大の報酬を手に入れることが出来る。
  • 人は生涯学習者であるべきだ。人生のどの段階でも常に学ばなければならない。

経験は最良の教師とよく言われますね。しかし、失敗こそが最高の教師と思いますよ。自分の間違いから多くのことを学べますから、失敗と上手に付き合って、間違いを学習手段として利用できる人が最も優れた学習者なのです。

意図的練習は演奏家の腕の磨き方と一脈相通じるものがある。たとえば、バイオリンの巨匠は

楽曲の始めから終わりまで繰り返し演奏してみるだけでなく、指がよく動かずに音程を外しやすい、一番難しい部分を重点的に練習する。同じ要領で、意図的練習では問題を素早く解けるよう解法手順の中でもっともわかりにくい部分に的を絞る。

分量の多い課題を予定通りにこなす秘訣は、最終期限を日々設けることである。

課題をやり通すのに最適なアプリとプログラム 

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背景雑音サイト 

 

 

感情の赴くままに突っ走ると憧れの映画スタートの結婚を決めたようなものだ。たとえば、将来の職業を選択する際に「己の情熱に従う」のは、現実を度外視して憧れの映画スタートの結婚を決めたようなものだ。その結果は―。ここ数十年の調査では、慎重に職業を選んだかどうか合理的に分析することなくやみくもに情熱に従った学生は、情熱と合理性をあわせ持って熟慮した学生よりも自分の職業選択に不満を覚えている。

生まれながらの才能に恵まれていなくとも労を惜しまず、専念し続けることで埋め合わせることが出来るだろう。努力は才能の代わりになりえるし、なおいっそう良いことに努力は才能を作り出すといえるかもしれない。 サンティアゴラモン・イ・カハル

教師は能力を正しく評価していなかった。機敏さを利口さと、記憶力を実力と、従順さを適正さと思い込んでいた。機敏さなどはカハルになかった。それでも成功したことから分かるとおり、教師は学生を過小評価しやすいし、学生も自らを過小評価しがちである。

神経パターンを作り出せるのが役立つチャンクであり、そういったチャンクであれば学習に限らず人生の別の面にも好影響を及ぼす。抽象化は概念をある分野から別の分野に伝えるのに役立つ。

オークランド大学物理学教授ブラッドリー・ロス
方程式は、たんに数字をはめ込んで答えの数字を出せばいいものではないのです。物質界はどのように作用するのか。方程式はその物語を伝えているのです。ですから、物理学の方程式が分かるには式に隠された物語を知ることが鍵となるんですよ。量的に正しい数字を方程式から得ることより、方程式を質的に理解することのほうが重要です。他にも秘訣があります。

直感力を高める 数学脳のつくりかた

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